第十九章
微积分及相关主题
1901. 可以说，微分和积分的概念——其起源确实可追溯至阿基米德——是通过开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马和沃利斯的研究被引入科学领域的……而微分与积分是“互逆”运算这一重大发现，则归功于牛顿和莱布尼茨。——索菲斯·李，《莱比锡报告》，第47卷（1895年），数学-物理类，第53页。
微分、积分之念，其源确可溯至阿基米德，由开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、沃利斯诸贤之研，始入科学之域。而微分与积分乃“互逆”运算，此重大发现，当归牛顿、莱布尼茨。——索菲斯·李《莱比锡报告》，卷四十七（1895年），数理类，页五十三。
1902. 看来，微分学的真正发明者费马认为，这一演算源自有限差分演算，方法是忽略高阶无穷小量，只保留低阶无穷小量……牛顿通过他的流数法，使这一演算更具解析性，他还凭借二项式定理的发明，简化并推广了这一方法。莱布尼茨则以其极为巧妙的符号记法，为微分学增色不少。——拉普拉斯，《论定积分等》；《全集》，第12卷（巴黎，1898年），第359页。
观之，微分学真发明者费马，谓此学源于有限差分法，盖略去高阶无穷小，仅存低阶者也。牛顿以流数法，使此学更具解析之性，又创二项式定理，简化而推广之。莱布尼茨则以精妙符号，为微分学增辉甚多。——拉普拉斯《论定积分等》；《全集》，卷十二（巴黎，1898年），页三百五十九。
1903. 任何希望理解数学真理的依据以及微积分中晦涩过程含义的人，都应当研读皮科克教授的《代数学》和休厄尔先生的《极限论》；即便掌握了这些论着，学生仍需从孔德先生的着作中学习更多相关知识——在其卓越的着作中，堪称最精彩的部分之一，便是他真正可以说开创了高等数学哲学的内容。——约翰·斯图尔特·穆勒，《逻辑体系》，第3卷，第24章，第6节。
凡欲明数学真理之依据、微积分中晦涩过程之要义者，必研读皮科克教授《代数学》、休厄尔先生《极限论》。即便通此二书，仍需从孔德先生着作中求深造——其宏着中最精妙者，莫过于开创高等数学哲学之篇。——约翰·斯图尔特·穆勒《逻辑体系》，卷三，第二十四章第六节。
1904. 倘若我们必须局限于一种符号体系，那么毫无疑问，莱布尼茨所发明的符号，比流数符号更适合无穷小演算的大多数应用场景，而对于某些领域（如变分法），它实际上几乎是不可或缺的。——w.w.R.鲍尔，《数学史》（伦敦，1901年），第371页。
若必拘于一种符号体系，则莱布尼茨所创，远胜流数符号，更宜无穷小演算之多数应用。于某些领域（如变分法），则几为必需。——w.w.R.鲍尔《数学史》（伦敦，1901年），页三百七十一。
1905. 无穷小方法与极限方法（当仅采用极限方法时）的区别在于：后者通常会保留高阶无穷小量直至计算结束，再将其忽略；而无穷小方法则从一开始就忽略这类量，因为它确信这些量不会影响最终结果——当我们取极限时，它们必然会消失。——b.威廉森，《不列颠百科全书》，第9版；“无穷小演算”条目，第14节。
无穷小法与极限法（专主极限时）之别：后者常留高阶微量至演算终了，而后弃之；前者则初即略去，盖信其不影响终果——取极限时，自当消弭也。——b.威廉森《不列颠百科全书》第九版，“无穷小演算”条第十四节。
1906. 当我们领会了无穷小方法的精神，并通过最初与最终比的几何方法或导函数的解析方法验证了其结果的精确性之后，我们便可以将无穷小量用作一种可靠且有效的工具，来简化和缩短我们的证明过程。——拉格朗日，《分析力学》，序言；《全集》，第2卷（巴黎，1888年），第14页。
悟无穷小法之精髓，又以初末比几何法或导函数解析法证其结果之精确，则可借无穷小量为可靠利器，简捷证明之程。——拉格朗日《分析力学》序；《全集》，卷二（巴黎，1888年），页十四。
1907. 无穷小方法的本质优点与崇高之处在于：它操作起来如同最简单的近似方法那般简便，同时又具备普通计算结果般的精确性。倘若我们借口要在整个过程中保证更高的精确性，而用一种不够便捷、且与自然事件可能的发展过程不太协调的方法替代莱布尼茨给出的简便方法，那么这种优势就会丧失，或者至少会大打折扣……
对无穷小方法提出的异议，是基于一种错误的假设，即认为在实际计算中忽略无穷小量所产生的误差，会一直保留在计算结果中。——拉扎尔·卡诺，《关于无穷小演算的形而上学思考》（巴黎，1813年），第215页。
无穷小法之至妙，在操作如最简近似法之易，精确若寻常计算之果。若借口全程求更精，以繁冗、不契自然之法代莱布尼茨之简法，则此长必失，或大损矣。
诋无穷小法者，误谓演算中略去无穷小所致之误，终存于结果。——拉扎尔·卡诺《关于无穷小演算的形而上学思考》（巴黎，1813年），页二百一十五。
1908. 极限比的定义，与无穷小量的定义相比，既不更难，也不更易。——拉扎尔·卡诺，《关于无穷小演算的形而上学思考》（巴黎，1813年），第210页。
极限比之定义，与无穷小量之定义，难易相当。——拉扎尔·卡诺《关于无穷小演算的形而上学思考》（巴黎，1813年），页二百一十。
1909. 极限是一个独特且基本的概念，在证明高等几何的命题时，它的作用无法被任何其他假设和定义的组合所取代。刚才提到的那条公理——“在极限处成立的，在极限上也成立”——包含在极限概念本身之中；这一原理及其推论，引出了构成高等数学主题的所有结果，无论这些结果是通过对消逝三角形的研究、通过微分学的过程，还是以其他任何方式证明的。——威廉·休厄尔，《归纳科学哲学》，第一部分，第二卷，第十二章，第一节（伦敦，1858年）。
极限者，独特而根本之念也。证高等几何命题时，其用非他种假设、定义所能替代。“趋近极限时为真，达于极限亦为真”，此公理本含于极限之念中。此理及其推论，生高等数学之一切结果，无论借消逝三角形、微分学过程，或他法证得。——威廉·休厄尔《归纳科学哲学》，第一部分第二卷第十二章第一节（伦敦，1858年）。
1910. 微分学拥有与其他代数运算同等的精确性。——拉普拉斯，《概率的分析理论》，引言；《全集》，第7卷（巴黎，1886年），第37页。
1911. 流数法或许是任何时代最伟大、最精妙、最崇高的发现之一：它为我们打开了一个新的世界，仿佛将我们的知识拓展至无穷；它带着我们超越了那些似乎为人类心智划定的界限，至少是无限地超越了古代几何学所局限的范围。——查尔斯·赫顿，《哲学与数学词典》（伦敦，1815年），第一卷，第525页。
微分学之精确，与他种代数运算无异。——拉普拉斯《概率的分析理论》引言；《全集》，卷七（巴黎，1886年），页三十七。
1912. 自然界中物质的状态和条件处于永恒的流动之中，只要这些性质可以被归为数量或进行测量（无论是实际的还是想象的），就都能通过牛顿的方法（流数法）进行有效的研究。借助牛顿的微积分，自然变化在每一时刻的作用方式，都能像这些文字如实表达我此刻的想法一样被准确描绘。由此，通过纯粹的计算，就能以确凿无疑的确定性确定控制整个过程的规律。——J.w.梅勒，《化学和物理专业学生的高等数学》（伦敦，1902年），序章。
自然界中物质之态，恒处于流转。若其性可归为数、可度量（无论实虚），皆可借牛顿流数法深究。凭牛顿微积分，自然变化每刻之作用，如实录吾此刻所思。由此，纯以计算，可确凿定控制全程之律。——J.w.梅勒《化学和物理专业学生的高等数学》（伦敦，1902年），序章。
1913. 从最广泛的意义上来说，微积分是我们理解物理真理最有力的工具。——w.F.奥斯古德，《美国数学会通报》，第13卷（1907年），第467页。
广义而言，微积分乃吾人领悟物理真谛之最利器也。——w.F.奥斯古德《美国数学会通报》，卷十三（1907年），页四百六十七。
1914. （无穷小）分析是人类智慧迄今创造出的最强大的思维工具。——w.b.史密斯，《无穷小分析》（纽约，1898年），序言，第vii页。
（无穷小）分析者，人类智识所创最锐之思维器也。——w.b.史密斯《无穷小分析》（纽约，1898年），序，页七。
1915. 流数法是一把通用的钥匙，现代数学家借助它解开几何学的奥秘，进而揭开自然的奥秘。正是凭借流数法，他们才能在发现定理和解决问题方面远超古人，因此，在当今被视为深奥几何学家的人当中，流数法的运用即便不是唯一，也是主要的工作内容。——乔治·贝克莱，《分析者》，第3节。
流数法者，通用之密钥也。近代算家籍之，既启几何之秘，亦探自然之奥。缘此，他们于发定理、解难题，远超古人。故当世称深几何者，其功若非专属流数，亦必以之为要。——乔治·贝克莱《分析者》第三节。
1916. 我最终完全确信，在最基础的教学中就应该使用无穷小的语言和概念——当然，要辅以各种保障措施。——奥古斯塔斯·德·摩根，《格雷夫斯着〈w.R.汉密尔顿传〉》（纽约，1882-1889年），第3卷，第479页。
吾终确信，启蒙之教，当用无穷小之言与念——自当辅以诸般防护也。——奥古斯塔斯·德·摩根《格雷夫斯着〈w.R.汉密尔顿传〉》（纽约，1882-1889年），卷三，页四百七十九。
1917. 应该先教学生如何对简单的代数表达式求导和积分，再尝试教他们几何学以及其他复杂的内容。在一开始就教授微积分的情况下，学生对符号的恐惧会被彻底打破。等学生掌握了这些符号，就可以开始教几何学或其他任何内容了。我还主张在学校里取消所谓的几何圆锥曲线。人们对圆锥曲线存在很多不必要的迷信。应该在学生年龄还小的时候就教他们微积分符号以及这些符号的最简单用法，而不是等到他们上大学之后再教。——S.p.汤普森，《佩里的数学教学》（伦敦，1902年），第49页。
宜先教生徒求导、积分简代数式，再授几何及其他繁难之学。初学即授微积分，则生徒对符号之畏俱破。既掌符号，便可授几何或其他诸科。吾亦主张，学校中废所谓几何圆锥曲线。世人于圆锥曲线多有妄执。当于童稚时，即授微积分符号及其简用，勿待至大学。——S.p.汤普森《佩里的数学教学》（伦敦，1902年），页四十九。