=1848.=然而我们也不能全然忽视
从几何学基础中获得的乐趣。
尽管在这些探索中，我遗憾地说，
我的脚步仅止于门槛，却在那里寻得了
思想的升华与沉静的欢愉：
怀着印度式的敬畏与惊叹，无知的欣喜
源于自身的求索，我长久思索
这些抽象概念与自然法则
之间的关联。
……
更常见的是，从同一源泉中，我汲取
一种宁静而深沉的喜悦，一种对
永恒普遍法则的感知，
与至高信念；在那里，我认出
有限生命体悟无限存在的象征——
那超越时空（忧郁的广宇，哀愁的长河）、
至高无上、永不更改、
不为激情波澜所扰的
终极生命，其名为上帝。
超然的安宁与静默
常伴随这些思绪，
它们是我年少时频频慰藉心灵的良药。
……
这些抽象概念对一颗
被幻象纠缠、被自我困扰的心灵
具有强大的魅力；
尤其令我神往的
是那高悬于上的清晰逻辑建构，
如此优雅——即便当时它看来
不过是感官世界的玩具，
而非其本质：一个由纯粹智慧创造的
独立世界。
——华兹华斯《序曲·第六卷》
然几何学之趣，亦未可尽忽也。
余于斯途，虽仅及门而止，然其间所得，有足以澄心悟道、怡神养性者。
常怀印人之敬畏，抱无知之欣悦，冥思抽象之理与自然之则，其关联何如？
……
更有甚者，由此源泉，得一静谧深沉之乐，感永恒普遍之律，生至高无上之信。
于兹见有限之生悟无限之存，其象若何？
超乎时空（彼忧郁之广宇，哀愁之长川），至高不变，不为情波所扰者，其名曰上帝。
超然之安宁，静默之妙境，常随此念而生，少年之时，屡为心灵之慰藉也。
……
抽象之理，于为幻象所缠、为自我所困之心，有莫大之引力。
尤使余神往者，乃其高悬之逻辑建构，清澄优雅——虽当时视之，不过感官世界之戏具，而非其本质：此乃纯粹智识所造之独立世界也。
——华兹华斯《序曲·第六卷》
=1849.=有人讲述过这样的故事：
风暴将一群遇难者抛上荒凉海岸，
唯有一本书因机缘得救——
那是部几何论着。尽管
衣食俱无，深陷绝境，
他却常携此书独行
（自此成为无师自通的学子），
在僻静处用长杖
于沙地绘制图形，
如此排遣悲愁，几近
忘却自身苦难。
——华兹华斯《序曲·第六卷》
昔有传者云：
风暴骤起，舟人遭难，漂于荒岸。
唯遗一书，偶得保全，乃几何之论着也。
其人虽乏衣食，困于绝境，
常携此书独行（遂为无师之学者），
于幽隐处，以杖画沙，作图推演，
排遣悲愁，几忘己身之苦。
——华兹华斯《序曲·第六卷》
=1850.= 我们研习艺术，是因从大师杰作中获得愉悦；或许正因我们曾浅尝颜料或黏土，方能更深领悟其妙处。我们未必志在成为作曲家、诗人或雕塑家，但渴望懂得音乐、文学与艺术，从中获得快乐与升华。
几何之学亦是如此。我们研习它，是因与这门古老而伟大的学问接触时心生欢喜——数千年来，它吸引无数智者倾尽心血臻于完善，令我们精神为之振奋。若否认学生能从几何学习中获得这种快乐，便等同于承认自身教学的失败。事实上，多数学生虽惯于宣称厌学，却在几何探索中体会到真实的乐趣。这份乐趣部分源于游戏性——这是场必胜却不易胜的博弈；部分源于美学体验，如对形式对称的欣赏，对严丝合缝的欣喜。但更重要的，或许是几何带来的精神升华：与绝对真理的接触，向无限之境的靠近。
生物学中无确凿定论，地质学所知尚浅，社会经济法则众说纷纭——但早在世界成形之前，直角三角形斜边的平方便等于两直角边平方之和；当此世消亡，它仍将成立；火星居民若存在，想必也如我们一般知晓其真。这种与永恒真理的接触所引发的精神升华，依个人禀赋不同，或深或浅地为每个几何学子带来可感知的喜悦——只要他们遇见的，是名副其实的教师。
——d·E·史密斯《几何教学》（波士顿，1911年），第16页
吾辈习艺，盖因得趣于大师之作；若尝操颜料、抟黏土，或能更深悟其妙。
未必欲为作曲家、诗人、雕塑家，然求懂音乐、文学、艺术，从中得乐而升华也。
几何之学，亦若是焉。
习之者，因与这古老伟大之学相接，心生欢喜——数千载来，引无数智者殚精竭虑，臻于完善，足以振吾辈之精神。
若谓学子不能于几何得乐，是自承教学之败也。
实则多数学子，虽常言厌学，然于几何探索中，实有真趣。
其趣或源于游戏——此乃必胜而不易胜之博弈；或源于审美，如赏形式之对称，喜逻辑之严合。然更要者，或许几何所带来之精神升华：接绝对之真理，趋无限之境。
生物学无定论，地质学所知尚浅，社会经济之律众说纷纭——然未有世界之前，直角三角形斜边之方，已等于两直角边平方之和；及此世消亡，其理仍在；火星若有居民，必亦知之如吾辈。此种与永恒真理相接所生之升华，依人之禀赋，或深或浅，皆为几何学子带来可感之悦——唯遇名副其实之师耳。
——d·E·史密斯《几何教学》（波士顿，1911年），第16页
=1851.=关于一位作家及其作品的价值，没有人能比作家自己评判得更到位；因为没人能像他那样，对这些进行如此深入、细致的审视。正是因为这个原因，当一部作品的价值是内在的、不依赖他人看法时，作者就不太会急于去迎合公众的认可。几何学的研究就能带来这种纯粹而完满的内心满足。一个人在这门学科上取得的进步、达到的造诣，都能像他研究中运用的方法那样，用同样严谨精确的标准来衡量。只有当我们对自己的评判标准是否公正产生怀疑时，才会急于通过与他人的标准对比来消除这种不确定性。
在所有涉及品味的事情上，评判标准必然是有些多变的；它基于一种大致的估计，整体或部分总会带点随意性，而且还会因为疏忽、情绪或突发奇想而不断变化。基于这些情况，我毫不怀疑，如果人们彼此隔绝地生活，在这种情况下除了生存之外还有其他事可做，他们会更愿意研究精密科学，而非从事那些怡情的艺术。人们追求艺术上的卓越，主要是为了他人；而投身于精密科学，则是为了自己。因此，在荒岛上，我认为诗人很难自负，而几何学家却仍能享受发现带来的自豪感。——达朗贝尔
《论文人》；《杂集》（阿姆斯特丹，1764年），第一卷，第334页。
论及着者及其作品之优劣，无人能较其自身评判更当。盖因唯有己身，能对之细察深究。几何之学所予人之满足，纯粹而完满，正因于此。人于斯学之进境，所达之高度，皆可如其中所用之法般，以严准度量。唯当吾辈对自身之标准存疑，方急于借他人之标准相较，以释困惑。
若论及品味所及之物，其标准必多变，或源于粗略估算，或全或半带随意，且常因疏忽、脾性、心血来潮而改。由此观之，若人独居而无需忧生存，所事必在精确之学，而非怡情之艺。盖人于艺求卓绝，多为他人；于学致精深，乃为己身。故在荒岛，诗人恐难自负，几何家却可享发现之傲——达朗贝尔语。
——《论文人》；《杂集》（阿姆斯特丹，1764年），第一卷，第334页。
=1852.=如果要确定倾斜度不同的斜面长度，让自由滚动的物体沿这些斜面下滑的时间相等，任何懂相关力学规律的人都会承认，这需要做不少准备工作。但在圆中，对于无数种不同的位置，恰当的排列会自行实现，而且每种情况都极其精确。所有与垂直直径相交（无论交于直径的最高点还是最低点）的弦，无论倾斜度如何，都有一个共同点：物体沿这些弦自由下滑的时间是相等的。我记得有个聪明的学生，在我向他阐述并证明这个定理后，当他完全理解其中的深意时，像被奇迹打动一般。的确，在圆这样简单的图形中，能自然形成如此多样的位置排列，且每种情况都精准无误，确实值得惊叹和称奇。而且，在自然界的奇迹中，除非因其成因难以理解而让人觉得神秘，否则没有哪个能因贯穿其中的美或秩序，更值得人们惊叹了。——康德
《证明上帝存在的唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编，1764年），第二卷，第137页。
设欲定诸斜面，其倾斜各异，长度不同，使自由滚动之体沿之而下，耗时皆等。凡明晓其中力学之律者，必知此举需多般预备。然在圆中，纵位置万千，其恰当排布皆自然而成，且每处皆精准无比。盖凡弦，无论与垂直直径交于最高或最低点，倾斜如何，沿之自由下落，耗时必等。忆昔有一聪慧生徒，余为其陈此定理并证之，待其尽悟深意，竟为所动，如遇神迹。诚然，圆这般简素之物，藏此妙理，万千位置皆合，殊可惊叹——康德语。
——《证明上帝存在之唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编），第二卷，第137页。
=1853.=这些来自圆的几何学的例子表明，在空间的属性中，存在着无数这样的和谐关系，其中很多体现在高等几何学中各类曲线的关系里。这些关系不仅能通过理性洞察锻炼理解力，还能触动情感，其程度不亚于自然界中偶然出现的美，甚至更甚。——康德
《证明上帝存在的唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编），第二卷，第138页。
观圆之几何诸例，可知空间之性中，藏无数和谐关联。高等几何中各类曲线之关系，亦多类此。此等理趣，不仅启智，其动人之处，较之自然偶现之美，或有过之而无不及——康德语。
——《证明上帝存在之唯一可能根据》；《文集》（哈滕施泰因编），第二卷，第138页。
=1854.=
哪怕经过三十年，甚至三百年，几何真理的清晰性和魅力也不会受到影响。比如“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和”这个定理，如今看来依然像毕达哥拉斯刚发现它时那样美妙夺目。据说他发现这个定理时，为了庆祝，还献祭了一百头牛——这种向科学致敬的方式，在我看来未免有些夸张且不必要。即便在如今这个风气败坏的时代，要是有了重大的科学发现，邀请一两位好友吃顿牛排、喝瓶酒来纪念，还是可以想象的。但献祭一百头牛！那会得到多得让人麻烦的牛肉啊。——c.L.道奇森
《平行线新论》（伦敦，1895年），引言，第16页。
若言几何之真，历三十年或三千年，其明丽与魅力未有稍减。譬如“直角三角形斜边之方，等于两直角边平方之和”，昔毕达哥拉斯初得之，今观之，其美妙夺目如初。闻其当年为庆此理，竟祭百牛——此致敬科学之法，在余观之，未免过甚而无必要。纵在今日这般世风下，若有卓绝之发现，邀一二好友共食牛排、饮美酒以纪之，犹可想象；然百牛之祭，所获牛肉之多，岂不徒增烦扰哉——道奇森语。
——《平行线新论》（伦敦，1895年），序，第16页。
=1855.=毕达哥拉斯发现他的基本定理后，献祭了一百头牛。从那以后，每当有新的真理被发现，所有的“蠢牛”[10]都会瑟瑟发抖。——伯尔尼
引自莫斯可夫斯基：《不朽之箱》（柏林，1908年），第18页。
[10] 在德语口语中，笨蛋或傻瓜被称为“牛”。
毕达哥拉斯得其至理，乃祭百牛。自兹以降，凡新理出，愚钝者[10]皆战栗——伯尔尼语也。
——引自莫斯可夫斯基《不朽之箱》（柏林，1908年），第18页。
[10] 德语俗语中，愚钝者或蠢材谓之为“牛”